,

จากสูตรการกระจาย $(a+b)^n$ ในทฤษฎีบททวินามจะได้พจน์ที่ $r+1$ เป็น $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$

เมื่อกระจาย $\left(x^3 +\frac{2}{x^2} \right)^{10}$ โดยใช้ทฤษฎีทวินาม จะได้พจน์ที่ $r+1$ เป็น

$$T_{r+1}=\binom{10}{r}\left(x^{3}\right)^{10-r}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{r}$$

จัดรูปโดยกระจายกำลังเข้าไปในแต่ละพจน์

\begin{eqnarray*}
T_{r+1} & = & \binom{10}{r}\left(x^{3}\right)^{10-r}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{r}\\
 & = & \binom{10}{r}x^{3\left(10-r\right)}\frac{2^{r}}{\left(x^{2}\right)^{r}}\\
 & = & \binom{10}{r}x^{30-3r}\cdot\frac{2^{r}}{x^{2r}}
\end{eqnarray*}

ดึงค่าคงตัวมาไว้ด้านหน้า และรวมกำลังของ $x$ เข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
T_{r+1} & = & =\binom{10}{r}x^{30-3r}\cdot\frac{2^{r}}{x^{2r}}\\
 & = & 2^{r}\cdot\binom{10}{r}\cdot x^{30-3r}\cdot x^{-2r}\\
 & = & 2^{r}\cdot\binom{10}{r}\cdot x^{30-5r}
\end{eqnarray*}

โจทย์กำหนดให้หาค่าคงตัวของพจน์ที่เป็นค่าคงตัว ซึ่งก็คือพจน์ที่มีกำลังของตัวแปร $x$ เป็นศูนย์  เราจึงแก้สมการโดยจับกำลังของ $x$ มาเท่ากับศูนย์แล้วหาค่า $r$

\begin{eqnarray*}
30-5r & = & 0\\
30 & = & 5r\\
\frac{30}{5} & = & r\\
6 & = & r
\end{eqnarray*}

ดังนั้นพจน์ที่เป็นค่าคงตัวมีค่า $r=6$ ซึ่งก็คือ พจน์ $T_{r+1} = T_{6+1} = T_7$ (พจน์ที่เจ็ด)

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่าพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ พจน์ที่ $7$ หรือพจน์ที่มี $r=6$  เราจึงแทนค่า $r=6$ ลงใน $T_{r+1} = 2^{r}\cdot\binom{10}{r}\cdot x^{30-5r}$ จะได้ค่าของพจน์ค่าคงตัว

\begin{eqnarray*}
T_{r+1} & = & 2^{r}\cdot\binom{10}{r}\cdot x^{30-5r}\\
T_{\left(6\right)+1} & = & 2^{\left(6\right)}\cdot\binom{10}{6}\cdot x^{30-5\left(6\right)}\\
T_{7} & = & 2^{6}\cdot\binom{10}{6}\cdot x^{0}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าได้ $x^0$ พอดี ซึ่งเป็นการยืนยันว่าเราคำนวณค่า $r$ ได้ถูกต้องแล้ว  จากนั้นแทนค่าสูตรการเลือก $\binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
T_{7} & = & 2^{6}\cdot\binom{10}{6}\cdot x^{0}\\
 & = & \left(64\right)\cdot\frac{10!}{\left(10-6\right)!6!}\cdot1\\
 & = & 64\cdot\frac{10!}{4!6!}
\end{eqnarray*}

กระจาย $10!$ และ $6!$ และตัดกัน จากนั้นคำนวณค่าที่ได้

\begin{eqnarray*}
T_{7} & = & 64\cdot\frac{10!}{4!6!}\\
 & = & 64\cdot\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{\left(4\cdot3\cdot2\cdot1\right)\left(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\right)}\\
 & = & 64\cdot\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{\left(4\cdot3\cdot2\cdot1\right)\cancel{\left(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\right)}}\\
 & = & 64\cdot\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\\
 & = & 64\cdot\left(210\right)\\
 & = & 13440
\end{eqnarray*}

ดังนั้นพจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับ $13,440$