ถ้า $\log\left[x+64^{\log_{4}2}\right]=1$ แล้ว จงหาค่าของ $x$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $64^{\log_42}$ ให้เหลือเพียงจำนวนง่ายๆ[/STEP]

เปลี่ยน $64$ เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลข $4$ เพื่อให้ฐานของเลขยกกำลังตรงกับฐานของล็อก $\log_42$ แล้วใช้สูตรเลขของเลขยกกำลังที่เมื่อเลขยกกำลังซ้อนกันนำมาคูณกัน

\begin{eqnarray*}
64^{\log_{4}2} & = & \left(4^{3}\right)^{\log_{4}2}\\
 & = & 4^{\left(3\times\log_{4}2\right)}
\end{eqnarray*}

ย้าย $3$ ไปเป็นเลขยกกำลังของ $2$ โดยใช้สูตร $k\cdot \log_ba = \log_ba^k$

\begin{eqnarray*}
64^{\log_{4}2} & = & 4^{3\times\log_{4}2}\\
 & = & 4^{\log_{4}2^{3}}\\
 & = & 4^{\log_{4}8}
\end{eqnarray*}

เนื่องจากฐานของเลขยกกำลังและฐานของล็อกตรงกันแล้ว เราจึงใช้สูตรอินเวอร์สของล็อก $b^{\log_ba} = a$ ปลดเลขยกกำลังกับล็อกทิ้ง

\begin{eqnarray*}
64^{\log_{4}2} & = & 4^{\log_{4}8}\\
 & = & 8
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $64^{\log_{4}2}=8$

[STEP]แทนค่า $64^{\log_{4}2}=8$ ปลดล็อกแล้วแก้สมการหาค่า $x$[/STEP]

แทนค่า $64^{\log_{4}2}=8$ จากขั้นตอนที่แล้วลงในสมการที่โจทย์ให้มา จะได้

\begin{eqnarray*}
\log\left[x+64^{\log_{4}2}\right] & = & 1\\
\log\left[x+\left(8\right)\right] & = & 1
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\log$ ในสมการข้างบนไม่ได้เขียนฐานมา ซึ่งหมายถึงเป็นล็อกฐาน $10$ เราจึงเปลี่ยน $\log$ ไปอยู่ในรูปเลขยกกำลังตามนิยาม $\log_bc=a\Leftrightarrow b^a = c $ จะได้

\begin{eqnarray*}
\log\left[x+8\right] & = & 1\\
10^{1} & = & \left[x+8\right]\\
10 & = & x+8\\
10-8 & = & x\\
2 & = & x
\end{eqnarray*}

เมื่อทดลองแทนค่า $x=2$ ลงในสมการที่โจทย์ให้มา (โดยแอบใช้  $64^{\log_{4}2}=8$ ) 

\begin{eqnarray*}
\log\left[x+64^{\log_{4}2}\right] & = & 1\\
\log\left[x+8\right] & = & 1\\
\log\left[\left(2\right)+8\right] & = & 1\\
\log10 & = & 1
\end{eqnarray*}

พบว่าสมการเป็นจริง

ดังนั้น $x=2$ เป็นคำตอบของสมการนี้จริง

[ANS]$x=2$[/ANS]