$\displaystyle\int_{0}^{3}4x\left|x-3\right|\,dx$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ถอดค่าสัมบูรณ์[/STEP]

เนื่องจากสิ่งที่โจทย์ต้องการให้อินทิเกรตมีค่าสัมบูรณ์อยู่และเราไม่สามารอินทิเกรตค่าสัมบูรณ์ได้ ดังนั้นเราจะต้องถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกก่อน

การถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์เราจะต้องรู้ก่อนว่าสิ่งที่อยู่ในค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือน้อยกว่า $0$

แล้วจะได้ว่า

$$\left|x\right|=\begin{cases}x&\,\text{เมื่อ}\,x\geq0\\-x&\,\text{เมื่อ}\,x<0\end{cases}$$

ดังนั้นสิ่งที่เราจะทำคือ ดูก่อนว่าในค่าสัมบูรณ์เป็นบวกหรือลบเมื่อไหร่

ในข้อนี้เราดู

$$\left|x-3\right|$$

ซึ่งจะได้ว่า 

$$x-3\begin{cases}\geq0&\,\text{เมื่อ}\,x\geq3\\<0&\,\text{เมื่อ}\,x<3\end{cases}$$

ดังนั้น

$$\left|x-3\right|=\begin{cases}x-3&\,\text{เมื่อ}\,x\geq3\\-(x-3)&\,\text{เมื่อ}\,x<3\end{cases}$$

เนื่องจากเราต้องการ

$$\int_0^3$$

แสดงว่า $x<3$ ดังนั้น

$$\left|x-3\right|=-(x-3)$$

[STEP]หาค่าอินทิเกรต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}4x\left|x-3\right|\,dx&=&\int_0^34x\left[-(x-3)\right]\,dx\\
&=&\int_0^3-4x^2+12x\,dx\\
&=&\left.\left(-\frac{4}{3}x^3+6x^2\right)\right|_{x=0}^{x=3}\\
&=&\left(-\frac43(3^3)+6(3^2)\right)-\left(-\frac43(0)^3+6(0)^2\right)\\
&=&-36+54\\
&=&18
\end{eqnarray*}

[ANS] $18$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่าสัมบูรณ์และสมบัติ นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต