ข้อสอบและเฉลยละเอียดฉบับเต็มของ คณิตศาสตร์สามัญ มกราคม 2558 ออกแล้วนะครับ

คณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ 58 เฉลยคำตอบแต่ละข้อเพื่อตรวจเช็คความมั่นใจ

1.  ข้อทฤษฎีเศษเหลือ เติมคำ (2 คะแนน)

โจทย์ ให้ P(x)=ax^2+9x-5 โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ถ้า x-1 หาร P(x) เหลือเศษ 6 รากจำนวนจริงบวก ที่ทำให้ P(x)=0 มีค่าเท่าใด

เฉลย แก้สมการ P(1) = 6 ได้ a(1)² + 9(1) - 5 = 6 แก้สมการได้ค่า a = 2 จึงได้ P(x) = 2x² + 9x - 5
แก้สมการ 2x² + 9x - 5 = 0 โดยแยกตัวประกอบ (2x - 1)(x + 5) = 0 มีคำตอบ x = 1/2 และ x = -5 แต่โจทย์ต้องการรากจำนวนจริงบวก จึงได้ x = 1/2 คิดเป็นทศนิยมได้ 0.5

ตอบ 0000.50

2.  ข้อ ห.ร.ม. ค.ร.น. m,n เติมคำ (2 คะแนน)

โจทย์ จำนวนเต็มบวก m,n ∈ {100,101,102,...,200} มี ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ m กับ n เท่ากับ 35 และ 525 ตามลำดับ จงหา m+n

เฉลย แยกตัวประกอบของ 35 = 5x7 แยกตัวประกอบของ 525 = 3x5²x7
จาก ห.ร.ม. ของ m,n เท่ากับ 5x7 แสดงว่าทั้ง m และ n ต้องมี 5x7 เป็นตัวประกอบ
จาก ค.ร.น. ของ m,n เท่ากับ 3x5²x7 แสดงว่า m กับ n จะต้องมี 3 กับ 5 อีกหนึ่งตัวเป็นตัวประกอบ
ทดลองแยก 3 กับ 5 เป็น m = 5x7x3 = 105 และ n = 5x7x5 = 175 ซึ่งมีค่าอยู่ในเซตที่โจทย์กำหนดให้พอดี

นำ m+n = 105 + 175 = 280

ตอบ 0280.00

3.  ข้อความเยื้องศูนย์กลาง (2 คะแนน)

โจทย์ ให้วงรีมีโฟกัสเป็น F₁(2,1) และ F₂(2,9) ถ้า P เป็นจุดบนวงรีและ PF₁+PF₂ = 10 จงหาความเยื้องศูนย์กลาง

เฉลย จากจุดโฟกัสทั้งสองห่างกัน 8 จึงมี 2c = 8 หรือ c = 4 ส่วนผลรวมระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ 2a = 10 จึงได้ a = 5

คำนวณความเยื้องศูนย์กลางมีค่าเท่ากับ c/a = 4/5 = 0.8

ตอบ 0000.80

4.  ข้อเวกเตอร์ ถาม sin²θ (2 คะแนน)

โจทย์ ให้ θ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ u กับ v, u.v = √3 และ |uxv| = 1 จงหา sin²θ

เฉลย 

ใช้สูตร |uxv| = |u| |v| sin θ = 1
ใช้สูตร  u.v  = |u| |v| cos θ = √3

นำสมการทั้งสองหารกัน ได้ (sin θ)/(cos θ) = 1/√3 หรือ tan θ = 1/√3 ซึ่งจะได้ θ = 30 องศา

คำนวณ sin²30 = (1/2)² = 1/4 = 0.25

ตอบ 0000.25

5.  สมการล็อกง่าย (2 คะแนน)

โจทย์ log₄x = log₉3 + log₃9 ถาม x

เฉลย คำนวณค่าด้านขวาของสมการ log₉3 = 1/2 และ log₃9 = 2 รวมกันได้ 5/2

แก้สมการ log₄x = 5/2 โดยเปลี่ยนเป็นรูปเลขยกกำลังฐาน 4 คือ

x = 4^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 32

ตอบ 0032.00

6.  ข้อถาม det(A+B) (2 คะแนน)

โจทย์ ให้เมทริกซ์ A₃ₓ₃ มี det(A)=10 ให้ B มีแถวแรกเป็น 0 0 0 แถวสองเป็น 2 เท่าแถว 1 และ แถวสามตรงกับ A ถาม det(A+B) 

เฉลย คำนวณ A+B ได้

ซึ่งเมื่อคำนวณ det โดยใช้การดำเนินการตามแถว -2R₁ + R₂ ซึ่ง det เท่าเดิม แต่ได้เมทริกซ์ใหม่เป็น

จะเห็นว่ามีแถวที่ 3 ที่ถูกคูณด้วย 2 จึงได้ det เป็น 2 เท่าของ det(A) คือ 2x10 = 20

ตอบ 0020.00

7.  ข้อสถิติ (2 คะแนน)

โจทย์ ข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง 2,5,8,10,12,15,18 ให้หาความแปรปรวน 

เฉลย คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ x̅ = 10
คำนวณ ∑(x-x̅)² ได้ (2-10)² + (5-10)² + (8-10)² + (10-10)² + (12-10)² + (15-10)² + (18-10)² = 64 + 25 + 4 + 0 + 4 + 25 + 64 = 186

คำนวณ s² =

ตอบ 0031.00

8.  ข้อไอติมกะทิ (2 คะแนน)

โจทย์ ไอติม 10 รส มีรสกะทิเป็นหนึ่งในนั้น จงหาความน่าจะเป็นที่จะตักไอติม 2 รสให้เด็กคนหนึ่งแล้วไม่ได้รสกะทิเลย

เฉลย n(E) = เลือกไอติม 9 รส(ยกเว้นกะทิ) มา 2 รส ได้ 9 เลือก 2 = 9x8/2

n(S) = เลือกไอติม 10 รส มา 2 รส ได้ 10x9/2

P(E) = (9x8)/(10x9) = 8/10 = 0.8

ตอบ 0000.80

9.                            (2 คะแนน)

โจทย์ 

ตอบ 0001.00

10.  ข้อถาม limit aₙ เติมคำ (2 คะแนน)

โจทย์ ให้ a_n หาลิมิตได้ และ a_n = √

เฉลย take limit เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ a_n = √

L = √

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

L² = 2 + L
L² - L - 2 = 0
(L - 2)(L + 1) = 0

จะได้ L = 2 หรือ L = -1 แต่ L มีค่าเท่ากับรากที่สองที่เป็นบวก จึงตอบ L = lim aₙ = 2

ตอบ 0002.00

------------------------------------------------------------------------

11.  ข้อเศษเหลือ จากการหารด้วย 7 (4 คะแนน) 

โจทย์ (995)¹⁶ + (996)⁸ + (997)⁴ + (998)² + 999 หารด้วย 7 เหลือเศษเท่าใด 

เฉลย 

หาร 995 ด้วย 7 เหลือเศษ 1
หาร 996 ด้วย 7 เหลือเศษ 2
หาร 997 ด้วย 7 เหลือเศษ 3
หาร 998 ด้วย 7 เหลือเศษ 4
หาร 999 ด้วย 7 เหลือเศษ 5

เขียนเศษแทนจำนวนเหล่านี้ ได้

1¹⁶ + 2⁸ + 3⁴ + 4² + 5 = 1 + 256 + 81 + 16 + 5 = 359 หารด้วย 7 เหลือเศษ 2

ตอบ 2

12.  อสมการค่าสัมบูรณ์ ถามจำนวนคำตอบ (4 คะแนน) 

โจทย์ | |100+x| - |100-x| | < 100 มีจำนวนเต็มเป็นคำตอบกี่จำนวน

เฉลย แบ่งเป็นสามช่วง คือ

   กรณี x < -100 ไม่มีคำตอบ
   กรณี -100 < x < 100 ได้อสมการ  

      | -(100+x) - (x-100) | < 100
      | -100 - x - x + 100 | < 100
      | 2x | < 100
      | x | < 50

จึงได้ x = -49, -48, -47, ..., 0, 1, 2, 3, ..., 49 ซึ่งมีทั้งหมด 99 จำนวน

ตอบ 99

13.  ข้อค่ามาตรฐาน หา % จำนวนคนได้คะแนนระหว่าง 50-60 (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้ s=10 บอก % คนได้คะแนนน้อยกว่า 40 มา ถาม % ของคนได้คะแนนระหว่าง 50 - 60

เฉลย หา x bar = 44.4 ใช้ร่วมกับ s=10 คำนวณค่า z ของ 50 และ 60 แล้วนำพื้นที่มาลบกันจะได้ 0.2283 คิดเป็นเปอร์เซ็นต์เท่ากับ 22.83%

ตอบ 22.83

14.  ข้อกฏของคอส (4 คะแนน) 

โจทย์ สามเหลี่ยม ABC มี AB=3, AC=5, B+C=arccos(-1/15) ถาม BC 

เฉลย ใช้กฎของคอสที่มุม A จะได้ a² = b² + c² - 2bc cos(A) = 5² + 3² - 2(5)(3)cos(A)

คำนวณ cos(A) จากมุมภายในรูปสามเหลี่ยม A+B+C=180 จะได้ A = 180-(B+C) และ cos(A) = cos(180 - (B+C)) = - cos(B+C) = -cos(arccos(-1/15)) = -(-1/15) = 1/15 แทนค่าลงในสมการแรกได้

a² = 25 + 9 - 2(5)(3)(1/15) = 34 - 2 = 32

ดังนั้น a = 4√2

ตอบ ช้อย 1 ได้ 4√2

15.  ข้อถามดิฟในรูปลิมิต (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้เส้นตรง 2y=3x+2 สัมผัส y=f(x) ที่จุด (0,1) ถาม limit(x->0)

เฉลย จากเส้นตรง 2y=3x+2 สัมผัส y=f(x) ที่จุด (0,1) แสดงว่า f(0) = 1 และ f'(0) = ความชันของเส้นตรง 2y=3x+2 = 3/2

ลิมิตที่โจทย์ถาม ตรงกับนิยามของ f'(0) ข้อนี้จึงตอบ 3/2

ตอบ 3/2

16.  ข้อจำนวนเชิงซ้อน ถามจำนวนสมาชิก A∩B  (4 คะแนน) 

โจทย์ A={ z | z¹² = 1 }, B={ z | z¹⁸ - z⁹ - 2 = 0 } ถาม n(A∩B) 

เฉลย 

เซต A ถอดรากที่12 ของ cis0 ได้มุม 0,30,60,90,120,150,180,210,240,270,300,330

เซต B แยกตัวประกอบ z¹⁸ - z⁹ - 2 ได้(z⁹-2)(z⁹+1)=0 วงเล็บ z⁹-2 ไม่ซ้ำกับ A แน่เพราะ r ไม่มีทางเท่ากับ 1

ส่วน z⁹+1=0 ถอดรากที่ 9 ของ cis180 ได้มุม 20,60,100,140,180,220,260,300,340 ซึ่งมีสามมุมตรงกับ A คือ 60,180 และ 300 เลยได้ n(A∩B)=3

ตอบ 3

17.  ข้อจำนวนเชิงซ้อน ถามพื้นที่ปิดล้อม  (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้หาพื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ Im(z) ≥ 0 และ Im(z-2i) +

เฉลย แทน z = x + yi จะได้สมการ y ≥ 0 และ y-2 + x² ≤ 0

วาดกราฟ จะได้พาราโบลาคว่ำ มีพื้นที่ตั้งแต่ -√2 ถึง √2 จึงอินทิเกรต y = 2 - x² ตั้งแต่ -√2 ถึง √2 ได้ (8√2)/3

ตอบ (8√2)/3

18.  ข้อครอสเวกเตอร์ (u+v)x(u-v)  (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้ (u+v)x(u-v) = 4i - 2j + √5k แล้วถาม |(3u)x(3v)| 

เฉลย กระจายการครอส ได้ (u+v)x(u-v) = uxu + vxu - uxv - vxv = 0 + vxu - uxv +0 = vxu - uxv

เปลี่ยน uxv = -vxu ได้ (u+v)x(u-v) = vxu - ( -vxu) = vxu + vxu = 2(vxu)  ซึ่งมีค่าเท่ากับ 4i - 2j + √5k

คำนวณ |(3u)x(3v)|  โดยดึง 3 ออกสองตัวได้ 9|uxv| = |(-9/2) 2(vxu)| = (9/2) |2(vxu)| = (9/2) | 4i - 2j + √5k| = (9/2) √

ตอบ 45/2 ช้อย 5

19.  ข้ออนุกรมเรขาคณิต สร้าง Gn ถาม ∑Gn  (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้ an เป็นลำดับเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วม r โดย 0<r<1 ให้ Gn = (a₁a₂a₃...an)^(1/n) ถาม ∑Gn

เฉลย คำนวณ Gₙ ได้ a₁a₂a₃...an = (a₁)(a₁r)(a₁r²)(a₁r³)...(a₁rⁿ⁻¹) = (a₁)ⁿ r^

คำนวณ lim Gₙ โดยใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ a₁/

ตอบ a1/(1-√r) ช้อย 1

20.  ข้อแคลค่าต่ำสุด ถาม a (อาจเป็นข้อ 9) 

โจทย์ ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ f(x) = x³ + 3ax² - 9a²x + 5a มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เป็น 0 ถาม a 

เฉลย คำนวณ f'(x) = 3x² + 6ax -9a² แก้สมการ f'(x) = 0 โดยแยกวงเล็บ

3(x² + 2ax - 3a²) = 3(x+3a)(x-a) = 0 ได้ค่าวิกฤต x = -3a กับ x = a 

คำนวณ f''(x) = 6x + 6a แทนค่า x = -3a กับ x = a เพื่อตรวจสอบว่าค่าใดให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
f''(-3a) = -12a < 0 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ จึงไม่ใช่ที่เราต้องการ
f''(a) = 12a > 0 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

แทน x = a และ f(x) = 0 เพราะมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 0

f(a) = 0
a³ + 3a(a²) - 9a²(a) + 5a = 0
-5a³ + 5a = 0
-5a(a² - 1) = 0
-5a(a-1)(a+1) = 0

ได้คำตอบ a = 0, -1, 1 ซึ่ง a ที่เราต้องการมีค่าเป็นบวก จึงตอบ a = 1

ตอบ 1

21.  ข้อเอาลำดับเลขคณิต an มาสร้างเป็นอนุกรมเทเลสโคป (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้ an เป็นลำดับเลขคณิตมีผลต่างร่วมเป็น 2/21

ให้หาผลรวม 1/

เฉลย แทนค่า aₖ - aₗ = (k-l)d จะได้

1/

ซึ่งเป็นอนุกรมเทเลสโคป แยกแต่ละพจน์เป็นสองวงเล็บได้

(1/2d)

เมื่อตัดกันแล้ว จะได้ (1/2d)

ตอบ 5

22.  ข้อสมการล็อก x^

โจทย์ ให้หาผลบวกของคำตอบของสมการ x^

เฉลย take log ฐาน 2 ได้

log₂ x^

จะได้ log₂x = -3 หรือ log₂x = 2 ซึ่งจะได้ x = 2^(-3) = 1/8 กับ x = 2² = 4
นำคำตอบบวกกัน 1/8 + 4 = 33/8

ตอบ 4+1/8 = 33/8

23.  ข้อสถิติ x̅=มัธยฐาน ถาม พิสัย R-x (4 คะแนน) 

โจทย์ ให้ข้อมูลไม่มีฐานนิยม 3.5, 5, 7, 8, 8.5, 12 และ x
ถ้า x̅ = มัธยฐาน และ R เป็นพิสัย จงหา R-x

เฉลย 

คำนวณ x̅ ในเทอม x ได้ x̅ = (44+x)/7

จากนั้นแบ่งเป็น 3 กรณี

    กรณี x > 8 จะได้มัธฐานเท่ากับ 8 และมี x̅ = (44+x)/7 ซึ่งต้องเท่ากับ 8 
    แก้สมการ (44+x)/7 = 8 ได้ x=12 ซึ่งจะทำให้มีฐานนิยม = 12 ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์

    กรณี 7≤x≤8 จะได้มัธยฐานเท่ากับ x แก้สมการ (44+x)/7 = x ได้  x = 7+1/3

    กรณี x < 7 จะได้มัธฐานเท่ากับ 7 แก้สมการ (44+x)/7 = 7 ได้ x=5 ซึ่งทำให้ได้ฐานนิยมเท่ากับ 5

จากทั้งสามกรณี จึงได้ x = 7+1/3
R = 12 - 3.5 = 8.5

คำนวณ R - x = 8.5 - (7+1/3) = 7/6

ตอบ 7/6

24.  ข้อลำดับเลขคณิตผสมแคล (4 คะแนน)

         โจทย์ an ลำดับเลขคณิต a₁=4,a₂=7,an=121 ให้ f(x) = (x+a₁x)+(x²+a₂x)+(x³+a₃x)+...+(xⁿ+anx) ถาม f'(-1)

ตอบ 2,480 ช้อยส์ 5

25.  ข้อการคูณเมทริกซ์ ถามถูกกี่ข้อ(4 คะแนน)

โจทย์ ให้ A,B,C,I เป็นเมทริกซ์จตุรัสขนาดเท่ากัน I เป็นเอกลักษณ์ ข้อความต่อไปนี้ถูกกี่ข้อ
ก) AB = AC แล้ว B=C >> ผิด
ข) AB = I และ AC = I แล้ว B = C >> ถูก
ค) A² = I และ AB = I แล้ว A = B >> ถูก
ง) AB = I แล้ว adj(B) = (det(A)) A >> ผิด

ตอบ ถูก 2 ข้อ

26.  ข้อสร้างเมทริกซ์ ขนาด 3x3 จาก 1, -1 (4 คะแนน)

โจทย์ ให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ 3x3 ที่มี a_ij ∈ {-1,1}

จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ A มีผลรวมของสมาชิกทุกตัวเป็น 3 

ตอบ 21/2⁷

27.  ข้อสมบัติไฮเพอร์โบลา ถามถูกกี่ข้อ (4 คะแนน)

โจทย์ ให้ P(a,b) เป็นจุดบนไฮเพอร์โบลา x²/8 - y²/2 = 1 และ F₁ กับ F₂ เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลานี้ ข้อความต่อไปนี้ ถูกกี่ข้อ
ก) |PF₁-PF₂| เท่ากับ 4√2 และมีจุดโฟกัสเป็น (-√10,0) กับ (√10,0) >> ถูก
ข) ความชันของเส้นกำกับสองเส้นคูณกันได้ -1/4 >> ถูก
ค) ??
ง) ผลคูณของระยะจากจุด P ไปยังเส้นกำกับทั้งสองของไฮเพอร์โบลาเท่ากับ 8/5 >> ถูก 

ตอบ รอ confirm

28.  ข้อ x-1 หาร P(x) ได้เศษ -1 ถามถูกกี่ข้อ (4 คะแนน)

โจทย์ กำหนดให้ x-1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 ข้อความต่อไปนี้ถูกกี่ข้อ
ก) x-1 หาร -P(x) เหลือเศษ -1 >> ผิด
ข) x-1 หาร

ตอบ รอ confirm

29.  สร้างเลขเกินเจ็ดแสนจาก 0,7,7,8,8,9 (4 คะแนน)

โจทย์ สร้างจำนวน 7 หลักจากการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลข 0,7,7,8,8,9 ให้มีค่ามากกว่าเจ็ดแสน ได้กี่จำนวน

เฉลย แบ่งเป็น 3 กรณี

     1) ขึ้นต้นด้วย 7 เรียง 07889 ได้ 5!/2! วิธี
     2) ขึ้นต้นด้วย 8 เรียง 07789 ได้ 5!/2! วิธี
     3) ขึ้นต้นด้วย 9 เรียง 07788 ได้ 5!/(2!2!) วิธี
รวมกันได้ 60 + 60 + 30 = 150 วิธี

ตอบ 150 จำนวน

30.  ข้อสุดท้าย ถาม Sₙ = 1 มีกี่ตัว (4 คะแนน)

โจทย์ ให้ i เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง i² = -1 และ Sₙ = ∑i^k แล้วถามว่ามี Sₙ = 1 กี่ตัวจาก {10,11,12,...,100}

ตอบ 23 ช้อยส์ 2

สำหรับคนที่อยากตะลุยข้อสอบคณิตสามัญเพิ่มเติม สามารถไปทดลองเรียนฟรีได้ที่ คอร์สคณิตสามัญ